Devoir 4

Semestre 2 — Période 4

Mathématiques Année scolaire : Durée : 1 heure

Exercice 15 pts

Dans la figure ci-dessous, D est un point du segment [AB] et E est un point du segment [AC]. On donne : AD = 3 cm, DB = 4,5 cm, AE = 2 cm, EC = 3 cm et DE = 2,4 cm.

1) Montrer que les droites (DE) et (BC) sont parallèles. (1,5pt)

2) Calculer la longueur BC. (1,5pt)

3) Dans la figure ci-dessous, les droites (RU), (SV) et (TW) sont parallèles. On donne : RS = 4 cm, ST = 6 cm et UV = 5 cm. Calculer la longueur VW. (2pts)

Exercice 24 pts

ΔABC est un triangle rectangle en C et H est le pied de la hauteur issue de C. On donne : AH = 9 cm et HB = 16 cm. M et N sont les milieux respectifs des segments [AC] et [BC].

1) En utilisant le théorème de la hauteur, calculer la longueur CH. (1,5pt)

2) Calculer la longueur AC. (1pt)

3) Montrer que (MN) ∥ (AB), puis calculer la longueur MN. (1,5pt)

Exercice 34 pts

1) On donne deux triangles ΔABC et ΔEFG tels que : AB = 6 cm, AC = 9 cm et BC = 12 cm ; EF = 4 cm, EG = 6 cm et FG = 8 cm. Montrer que ΔEFG est une réduction de ΔABC, puis donner son rapport 𝑘. (1pt)

2) Un carré d’aire 50 cm² subit une réduction de rapport 𝑘 ; son aire devient 18 cm². Déterminer le rapport 𝑘. (1,5pt)

3) (S) est un cylindre de rayon 𝑟 = 3 cm et de hauteur ℎ = 5 cm. (S′) est son agrandissement de rapport 𝑘 = 2. Calculer le volume de (S), puis en déduire le volume de (S′). (1,5pt)

Exercice 47 pts

Soit 𝒞 un cercle de centre O. A, B et C sont trois points de 𝒞 tels que ∠ACB = 55°. Les tangentes à 𝒞 en A et en B se coupent au point P (figure ci-dessous).

1) Calculer la mesure de l’angle ∠AOB. Justifier. (1,5pt)

2) En utilisant le théorème de la tangente, calculer la mesure de l’angle ∠PAB. (1,5pt)

3) Montrer que le triangle ΔPAB est isocèle, puis calculer la mesure de l’angle ∠APB. (2pts)

4) Montrer que les points O, A, P et B sont cocycliques, en précisant un diamètre du cercle qui les contient. (2pts)