Devoir 4 — Modèle 1 — 2ème année collège

Exercice 16 pts

ΔABC est un triangle ; les droites AB et BC sont prolongées au-delà de B (voir la figure ci-dessus). H et K sont les pieds des perpendiculaires menées du point O respectivement à la droite AC et à la droite AB.

1) Calculer, en justifiant votre réponse, les mesures des angles ∠ABC et ∠ACB : (1pt)

• ∠ABC = car :

• ∠ACB = car :

2) Montrer que le triangle ΔABC est un triangle équilatéral. (1pt)

3) Déterminer, en justifiant votre réponse, la mesure des côtés BC et AC sachant que AB = 5 cm : (1pt)

BC = car :

AC = car :

4) BO et CO sont les bissectrices respectivement des angles ∠ABC et ∠BCA. Montrer que AO est la bissectrice de l'angle ∠BAC : (1pt)

5) Déterminer la distance OK, sachant que : OH = 1,44 cm (0,5pt)

6) Déterminer la distance du point O à la droite BC (0,5 pt)

7) Déterminer le centre et le rayon du cercle inscrit dans le triangle ΔABC (1 pt)

Exercice 26 pts

ΔABC est un triangle rectangle isocèle en A tel que : AB = 5 cm. D est le pied de la hauteur issue de A.

1) Calculer les mesures des angles ∠ABC et ∠ACB (2pts)

2) En utilisant le théorème de Pythagore, montrer que BC =

\sqrt{50}

. (2pts)

3) Montrer que les triangles ΔABD et ΔACD sont congrus. (2pts)

Exercice 38 pts

ABCD est un parallélogramme de centre O, tel que : ∠ABC = 60°, AC = 5 cm et OD = 4,18 cm.

1) Déterminer, en justifiant votre réponse, les mesures des angles ∠DAB et ∠ADC (2pts)

∠DAB = car :

∠ADC = car :

2) Déterminer la longueur AO et la longueur de BD (2pts)

AO = car :

BD = car :

3) Déterminer la longueur de DC, sachant que AB = 4 cm (1pt)

4) Le cercle de centre O qui passe par A recoupe le segment BC en un point E (distinct de C) et le segment AD en un point F (distinct de A). Les points E, O et F sont alignés.

a) Vérifier que OE = OF (1,5pt)

b) Montrer que le quadrilatère AECF est un parallélogramme (1,5pt)